什么是函数
我们知道圆的面积计算公式为：
S = πr²
当我们知道半径r的值时，就可以根据公式计算出面积。假设我们需要计算3个不同大小的圆的面积：
r1 = 12.34
r2 = 9.08
r3 = 73.1
s1 = 3.14 * r1 * r1
s2 = 3.14 * r2 * r2
s3 = 3.14 * r3 * r3
当代码出现有规律的重复的时候，你就需要当心了，每次写3.14 * x * x不仅很麻烦，而且，如果要把3.14改成3.14159265359的时候，得全部替换。
有了函数，我们就不再每次写s = 3.14 * x * x，而是写成更有意义的函数调用 s = area_of_circle(x)，而函数 area_of_circle 本身只需要写一次，就可以多次调用。
抽象是数学中非常常见的概念。举个例子：
计算数列的和，比如：1 + 2 + 3 + … + 100，写起来十分不方便，于是数学家发明了求和符号∑，可以把1 + 2 + 3 + … + 100记作：
100
∑n
n=1
这种抽象记法非常强大，因为我们看到∑就可以理解成求和，而不是还原成低级的加法运算。
而且，这种抽象记法是可扩展的，比如：
100
∑(n²+1)
n=1
还原成加法运算就变成了：
(1 x 1 + 1) + (2 x 2 + 1) + (3 x 3 + 1) + ... + (100 x 100 + 1)
可见，借助抽象，我们才能不关心底层的具体计算过程，而直接在更高的层次上思考问题。
写计算机程序也是一样，函数就是最基本的一种代码抽象的方式。
Python不但能非常灵活地定义函数，而且本身内置了很多有用的函数，可以直接调用。
调用函数
Python内置了很多有用的函数，我们可以直接调用。
要调用一个函数，需要知道函数的名称和参数，比如求绝对值的函数 abs，它接收一个参数。
可以直接从Python的官方网站查看文档：
http://docs.python.org/2/library/functions.html#abs
也可以在交互式命令行通过 help(abs) 查看abs函数的帮助信息。
调用 abs 函数：
>>> abs(100)
100
>>> abs(-20)
20
>>> abs(12.34)
12.34
调用函数的时候，如果传入的参数数量不对，会报TypeError的错误，并且Python会明确地告诉你：abs()有且仅有1个参数，但给出了两个：
>>> abs(1, 2)
Traceback (most recent call last):
File "<stdin>", line 1, in <module>
TypeError: abs() takes exactly one argument (2 given)
如果传入的参数数量是对的，但参数类型不能被函数所接受，也会报TypeError的错误，并且给出错误信息：str是错误的参数类型：
>>> abs('a')
Traceback (most recent call last):
File "<stdin>", line 1, in <module>
TypeError: bad operand type for abs(): 'str'
而比较函数 cmp(x, y) 就需要两个参数，如果 x<y，返回 -1，如果 x==y，返回 0，如果 x>y，返回 1：
>>> cmp(1, 2)
-1
>>> cmp(2, 1)
1
>>> cmp(3, 3)
0
Python内置的常用函数还包括数据类型转换函数，比如 int()函数可以把其他数据类型转换为整数：
>>> int('123')
123
>>> int(12.34)
12
str()函数把其他类型转换成 str：
>>> str(123)
'123'
>>> str(1.23)
'1.23'
任务：
sum()函数接受一个list作为参数，并返回list所有元素之和。请计算 11 + 22 + 33 + … + 100100。
代码：
L = []
x = 1
while x <= 100:
L.append(x * x)
x = x + 1
print sum(L)
输出：
338350
编写函数
在Python中，定义一个函数要使用 def 语句，依次写出函数名、括号、括号中的参数和冒号:，然后，在缩进块中编写函数体，函数的返回值用 return 语句返回。
我们以自定义一个求绝对值的 my_abs 函数为例：
def my_abs(x):
if x >= 0:
return x
else:
return -x
请注意，函数体内部的语句在执行时，一旦执行到return时，函数就执行完毕，并将结果返回。因此，函数内部通过条件判断和循环可以实现非常复杂的逻辑。
如果没有return语句，函数执行完毕后也会返回结果，只是结果为 None。
return None可以简写为return。
任务：
请定义一个 square_of_sum 函数，它接受一个list，返回list中每个元素平方的和。
代码：
def square_of_sum(L):
sum = 0
for num in L:
sum = num * num + sum
return sum
print square_of_sum([1, 2, 3, 4, 5])
print square_of_sum([-5, 0, 5, 15, 25])
返回多值
函数可以返回多个值吗？答案是肯定的。
比如在游戏中经常需要从一个点移动到另一个点，给出坐标、位移和角度，就可以计算出新的坐标：
# math包提供了sin()和 cos()函数，我们先用import引用它：
import math
def move(x, y, step, angle):
nx = x + step * math.cos(angle)
ny = y - step * math.sin(angle)
return nx, ny
这样我们就可以同时获得返回值：
>>> x, y = move(100, 100, 60, math.pi / 6)
>>> print x, y
151.961524227 70.0
但其实这只是一种假象，Python函数返回的仍然是单一值：
>>> r = move(100, 100, 60, math.pi / 6)
>>> print r
(151.96152422706632, 70.0)
用print打印返回结果，原来返回值是一个tuple！
但是，在语法上，返回一个tuple可以省略括号，而多个变量可以同时接收一个tuple，按位置赋给对应的值，所以，Python的函数返回多值其实就是返回一个tuple，但写起来更方便。
任务：
一元二次方程的定义是：ax² + bx + c = 0
请编写一个函数，返回一元二次方程的两个解。
注意：Python的math包提供了sqrt()函数用于计算平方根。
import math
def quadratic_equation(a, b, c):
t = math.sqrt(b * b - 4 * a * c)
return (-b + t) / (2 * a),( -b - t )/ (2 * a)
print quadratic_equation(2, 3, 0)
print quadratic_equation(1, -6, 5)
输出：
(0.0, -1.5) (5.0, 1.0)
递归函数
在函数内部，可以调用其他函数。如果一个函数在内部调用自身本身，这个函数就是递归函数。
举个例子，我们来计算阶乘 n! = 1 * 2 * 3 * … * n，用函数 fact(n)表示，可以看出：
fact(n) = n! = 1 * 2 * 3 * ... * (n-1) * n = (n-1)! *
n = fact(n-1) * n
所以，fact(n)可以表示为 n * fact(n-1)，只有n=1时需要特殊处理。
于是，fact(n)用递归的方式写出来就是：
def fact(n):
if n==1:
return 1
return n * fact(n - 1)
上面就是一个递归函数。可以试试：
>>> fact(1)
1
>>> fact(5)
120
>>> fact(100)
93326215443944152681699238856266700490715968264381621468592963895217599993229915608941463976156518286253697920827223758251185210916864000000000000000000000000L
如果我们计算fact(5)，可以根据函数定义看到计算过程如下：
===> fact(5)
===> 5 * fact(4)
===> 5 * (4 * fact(3))
===> 5 * (4 * (3 * fact(2)))
===> 5 * (4 * (3 * (2 * fact(1))))
===> 5 * (4 * (3 * (2 * 1)))
===> 5 * (4 * (3 * 2))
===> 5 * (4 * 6)
===> 5 * 24
===> 120
递归函数的优点是定义简单，逻辑清晰。理论上，所有的递归函数都可以写成循环的方式，但循环的逻辑不如递归清晰。
使用递归函数需要注意防止栈溢出。在计算机中，函数调用是通过栈（stack）这种数据结构实现的，每当进入一个函数调用，栈就会加一层栈帧，每当函数返回，栈就会减一层栈帧。由于栈的大小不是无限的，所以，递归调用的次数过多，会导致栈溢出。可以试试计算 fact(10000)。
任务：
汉诺塔 (http://baike.baidu.com/view/191666.htm) 的移动也可以看做是递归函数。
我们对柱子编号为a, b, c，将所有圆盘从a移到c可以描述为：
如果a只有一个圆盘，可以直接移动到c；
如果a有N个圆盘，可以看成a有1个圆盘（底盘） + (N-1)个圆盘，首先需要把 (N-1) 个圆盘移动到 b，然后，将 a的最后一个圆盘移动到c，再将b的(N-1)个圆盘移动到c。
请编写一个函数，给定输入 n, a, b, c，打印出移动的步骤：
move(n, a, b, c)
例如，输入 move(2, ‘A’, ‘B’, ‘C’)，打印出：
A –> B A –> C B –> C
代码：
def move(n, a, b, c): if n ==1: print a, ‘–>’, c return move(n-1, a, c, b) print a, ‘–>’, c move(n-1, b, a, c) move(4, ‘A’, ‘B’, ‘C’)
输出：
A –> B A –> C B –> C A –> B C –> A C –> B A –> B A –> C B –> C B –> A C –> A B –> C A –> B A –> C B –> C
定义默认参数
定义函数的时候，还可以有默认参数。
例如Python自带的 int() 函数，其实就有两个参数，我们既可以传一个参数，又可以传两个参数：
>>> int('123')
123
>>> int('123', 8)
83
int()函数的第二个参数是转换进制，如果不传，默认是十进制 (base=10)，如果传了，就用传入的参数。
可见，函数的默认参数的作用是简化调用，你只需要把必须的参数传进去。但是在需要的时候，又可以传入额外的参数来覆盖默认参数值。
我们来定义一个计算 x 的N次方的函数:
def power(x, n):
s = 1
while n > 0:
n = n - 1
s = s * x
return s
假设计算平方的次数最多，我们就可以把 n 的默认值设定为 2：
def power(x, n=2):
s = 1
while n > 0:
n = n - 1
s = s * x
return s
这样一来，计算平方就不需要传入两个参数了：
>>> power(5)
25
由于函数的参数按从左到右的顺序匹配，所以默认参数只能定义在必需参数的后面：
# OK:
def fn1(a, b=1, c=2):
pass
# Error:
def fn2(a=1, b):
pass
任务:
请定义一个 greet() 函数，它包含一个默认参数，如果没有传入，打印 ‘Hello, world.’，如果传入，打印 ‘Hello, xxx.’
代码：
def greet(name='world'):
print 'Hello, ' + name + '.'
greet()
greet('Bart')
输出：
Hello, world.
Hello, Bart.
定义可变参数
如果想让一个函数能接受任意个参数，我们就可以定义一个可变参数：
def fn(*args):
print args
可变参数的名字前面有个 * 号，我们可以传入0个、1个或多个参数给可变参数：
>>> fn()
()
>>> fn('a')
('a',)
>>> fn('a', 'b')
('a', 'b')
>>> fn('a', 'b', 'c')
('a', 'b', 'c')
可变参数也不是很神秘，Python解释器会把传入的一组参数组装成一个tuple传递给可变参数，因此，在函数内部，直接把变量 args 看成一个 tuple 就好了。
定义可变参数的目的也是为了简化调用。假设我们要计算任意个数的平均值，就可以定义一个可变参数：
def average(*args):
...
这样，在调用的时候，可以这样写：
>>> average()
0
>>> average(1, 2)
1.5
>>> average(1, 2, 2, 3, 4)
2.4
任务：
请编写接受可变参数的 average() 函数。
代码：
def average(*args):
sum = 0.0
if len(args) == 0:
return sum
for x in args:
sum = sum + x
return sum / len(args)
print average()
print average(1, 2)
print average(1, 2, 2, 3, 4)
输出：
0.0
1.5
2.4